在本文中，我们将学习 Python 中给定数据集的不同方法的曲线拟合。但在开始之前，让我们先了解一下曲线拟合的目的是什么。
曲线拟合的目的是研究数据集并提取参数的优化值，以类似于给定函数的数据集。为此，我们将使用一个名为的函数curve_fit().
在开始使用我们的代码片段之前，让我们导入一些在开始之前需要导入的重要模块。
#importing modulesimport numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.optimize import curve_fit |
Python中的曲线拟合是什么？
给定数据集x = {x 1 , x 2 , x 3 …}和y= {y 1 , y 2 , y 3 …}和函数 f ，取决于未知参数z。我们需要为这个未知参数 z 找到一个最佳值，使得函数y = f(x, z)最类似于该函数和给定的数据集。此过程称为曲线拟合。
为此，我们还需要应用两种不同的方法进行曲线拟合。
- 最小二乘法
- 最大似然估计
最小二乘法
在此方法中，我们将通过调整z中的值来最小化函数Σ i (f(x i , z) – y i ) 2 。
我们可以找到最高最小化后的优化值。
最大似然估计
当数据集中出现错误时，我们可以使用此方法。即σ。
我们需要最小化函数Σ i (f(x i , z) – y i ) 2 / σ 2。它给出了上述函数的最高最小化后的z的最佳值。
让我们看一下我们的示例数据集，如下所示。
x_data = np.array([ 0.23547456, 0.15789474, 0.31578947, 0.47368421, 0.63157895, 0.78947368, 0.94736842, 1.10526316, 1.26315789, 1.42105263, 1.57894737, 1.73684211, 1.89473684, 2.05263158, 2.21052632, 2.36842105, 2.52631579, 2.68421053, 2.84210526, 3.45454545 ])y_data = np.array([ 2.95258285, 2.49719803, -2.1984975, -4.88744346, -7.41326345, -8.44574157, -10.01878504, -13.83743553, -12.91548145, -15.41149046, -14.93516299, -13.42514157, -14.12110495, -17.6412464 , -16.1275509 , -16.11533771, -15.66076021, -13.48938865, -11.33918701, -11.70467566])plt.scatter(x_data , y_data)plt.show() |
上面的代码片段将给出示例数据集的输出，如下所示。
曲线拟合示例1
为了描述未知参数 z，我们在模型中采用三个不同的变量，分别命名为 a、b 和 c。为了确定 z 的最佳值，我们需要分别确定 a、b 和 c 的值。即z= (a, b, c)。函数y = f (x, z) = f (x, a, b, c) = a(xb) 2 + c。让我们一步一步来。
步骤一：定义模型函数
def model_f(x,a,b,c): return a*(x-b)**2+c |
第 2 步：使用 curve_fit() 函数
popt, pcov = curve_fit(model_f, x_data, y_data, p0=[3,2,-16]) |
在上面的函数中，我们提供了a, b and cas的初始值p0=[3,2,-16]。
上面的函数将分别返回两个值popt、pcov。
poptarray([ 4.34571181, 2.16288856, -16.22482919])pcovarray([[ 0.19937578, -0.02405734, -0.1215353 ], [-0.02405734, 0.00517302, 0.00226607], [-0.1215353 , 0.00226607, 0.29163784]]) |
- popt ：a、b、c 的估计优化值
- pcov：协方差矩阵或误差
现在让我们为获得的 a、b 和 c 的优化值绘制相同的函数。在这种情况下，我们将仅解释我们的 popt 值（最小二乘法），在下一个代码片段中，我们将解释我们的 pcov 值（即解释错误值）。
a_opt, b_opt, c_opt = poptx_model = np.linspace(min(x_data), max(y_data), 100)y_model = model_f(x_model, a_opt, b_opt, c_opt) plt.scatter(x_data, y_data)plt.plot(x_model, y_model, color='r')plt.show() |
上面的代码片段将给出如下所示的输出。
现在解释 pcov 值，我们可以更好地拟合给定函数（最大似然估计）。让我们快速浏览一下下面的代码片段。
plt.imshow(np.log(np.abs(pcov)))plt.colorbar()plt.show() |
上面的代码片段将给出如下输出。
实施例2
让我们用另一个例子（对于不同的函数）来理解给定的数据集，并尝试两种不同的方法。在此示例中，为了描述未知参数z，我们在模型中采用了四个不同的变量，名为 a、b、c 和 d。为了确定 z 的最佳值，我们需要分别确定 a、b、c 和 d 的值。让我们快速浏览一下下面的代码片段。
步骤一：定义模型函数
#Defining our functiondef fit_f(x,a,b,c,d): return a*(x-b)**2+c+d*0.0001*np.cos(x) |
步骤 2：使用 curve_fit() 函数
#using our curve_fit() functionpopt, pcov = curve_fit(fit_f,x_data,y_data,p0=[1,2,-16,1]) |
在上面的函数中，我们提供了a, b, c and das的初始值p0=[1,2,-16,1]。
我们可以通过打印相同的内容来看到 popt 和 pcov 的值。
poptarray([ 5.00494014e+00, 2.75689923e+00, -2.21559741e+01, -8.97724662e+04])pcovarray([[ 1.71072218e-01, 4.21450805e-03, -4.30580853e-01, -5.74603933e+03], [ 4.21450805e-03, 3.33701247e-02, -3.97891468e-01, -4.49561407e+03], [-4.30580853e-01, -3.97891468e-01, 5.68973874e+00, 6.50631130e+04], [-5.74603933e+03, -4.49561407e+03, 6.50631130e+04, 7.82484767e+08]]) |
现在让我们为获得的 a、b 和 c 的优化值绘制相同的函数。在这种情况下，我们将仅解释我们的 popt 值（最小二乘法），在下一个代码片段中，我们将解释我们的 pcov 值（即解释错误值）。
a_opt, b_opt, c_opt, d_opt = poptx_model = np.linspace(min(x_data), max(y_data), 100)y_model = fit_f(x_model, a_opt, b_opt, c_opt,d_opt) plt.scatter(x_data, y_data)plt.plot(x_model, y_model, color='r')plt.show() |
上面的代码片段将给出如下输出。
现在解释 pcov（协方差误差矩阵）值，我们可以更好地拟合给定函数（最大似然估计）。让我们快速浏览一下下面的代码片段。
plt.imshow(np.log(np.abs(pcov)))plt.colorbar()plt.show() |
概括
今天，我们学习了Python曲线拟合。我们已经了解了如何使用curve_fit() 给定数据集的方法来优化给定函数。您可以采用除我们的示例之外的任何其他数据集，并尝试上面的代码片段。
您可以尝试获取不同数据集的 CSV 文件并提取相同数据集的优化值。
我希望您会发现这篇文章更有帮助。我们必须带着一些更令人兴奋的话题再次访问。